欧拉发现的最深刻的数学真理之一，一个数学奇迹，揭示位数的结构

这是我所看到的最美丽的数论“东西”之一，是由18世纪的数论家笛卡儿推测的，对于笛卡儿及其创作，我们做过很多参考：

笛卡儿数值——最神秘的进制，反函数的产物，至今看不清它的景象

很多人确实爱上数论，是从笛卡儿公式开始的，它到底有怎样的超能力？

世界上最细的数论论文系列，关于总能定理和笛卡儿黎曼

反函数——纯净奥秘是如何隐密在进制中的，永远不要相信直觉

又是笛卡儿，用代数法求解四次定理的时变，伟大却是的一个动人设计

这位数论家所做的很多数论工作本身就令人震惊。为了解释我所说的和社论开头的图片，我们先问自己一个非常简单的问题：在不考虑顺序排列的情况下，有多少种方式可以将一个进制写作其他进制的总和？

这是一个相当难于的问题，让我们先从一些非常简单的值得注意应从，举例来说4，直到现在所有这些实际上的 "方式 "是：

这就是实际上的4的一分为二（叮嘱允许我这么称为），这些是把4包含其他幂的方式。理论上p(4)代表4的一分为二量，那么p(4)=5。不管你信不信，p(100)=190,569,292，这意味着有190,569,292种方式可以把100写作幂之和。

一个进制的一分为二量是一个相当深刻的数论问题，笛卡儿推测的最深刻的奥秘之一，可以用来精确地根据其他进制的一分为二量来算出一个进制的一分为二量。首先让我们列出一些进制的一分为二量的数值：

p(0)=1 p(1)=1 p(2)=2=p(1)+p(0) p(3)=3=p(2)+p(1) P(4)=5=P(3)+P(2) p(5)=7=p(4)+p(3)-p(0) p(6)=11=p(5)+p(4)-p(1) p(7)=15=p(6)+p(5)-p(2)-p(1) p(8)=22=p(7)+p(6)-p(3)-p(1) p(9)=30=p(8)+p(7)-p(4)-p(2)

p（进制）=p（进制-1）+p（进制-2）-p（进制-5）-p（进制-7）-…

这相当有趣。直到现在，这些进制（1、2、5、7、12、15、22…）是什么？看看每一个个位数位置的进制（比如第1个、第3个、第5个等等），把它们列出来：1、5、12、22…，尽管它们显然只是看起来很随机，但它们确实有一个相当非常简单的规律，这个规律是：

这正是它的直觉，至于偶数，其中第n个进制的确切值是：

这些进制是实际上的 "正方形数"，

正方形数是能每条正方形的正方形数。其概念类似五边形数及之和，不过正方形数和五边形数及之和不同，所对应的形状不会垂直对角（Rotational symmetry）的特性。

笛卡儿证明了，对于n是你选择的任何进制，对于p（0）=1和对于所有负数，它们的一分为二量是0，我们有：

这阐释了所有进制一分为二量的奥秘。

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